Mes principaux centres d'intérêt cette année ... (par obligation)
Espace vectoriel
Définition d'espace vectoriel surun ensemble e est un espace vectoriel sur :
* lorsque e est muni d'une loi de composition interne (généralement notée +) , appelée addition vectorielle, telle que (e, + ) est un groupe commutatif , les éléments de e sont plus communément appelé vecteurs .
* l'ensemble e est muni d'une loi de composition externe, noté par un point " . " tel que :
(1) Pour tout e on a : 1 . =
(2) Pour tout e et
pour tous réels et :
.()= ()
( + )= +
(3) Pour tous et appartenant à e et pour tout réel
(+ ) =+
Propriétés * Pour tous , , de e : + = + =
* Pour tous , de e, il existe un unique vecteur tel que
= +
* Pour tout e et pour tout réel on a :
.= ( = 0 ou = )
Un exemple d'espace vectoriel pour comprendre
Définition : Sous espace vectoriel : On nomme sous espace vectoriel d'un espace vectoriel e, toute partie e' non vide de e stable pour l'addition vectorielle et la multiplication externe définies sur e :
Pour tous vecteurs et de e' et tous réels et
(.+.) appartient à e'
E' est un espace vectorielle muni des lois + et .
Remarque : L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel e est encore un sous espace vectoriel de e, mais ce n'est pas forcément le cas de l'union de deux sous espace vectoriel.
Un exemple de sous espace vectoriel
Définition : Somme de deux sous-espaces vectoriels
Soient U et V deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel e sur , on appelle somme des sous espaces vectoriels U et V l'ensemble noté U + V des vecteurs = + où est un élément de U et est un élément de V
U+V est un sous espace vectoriel de e
Définition : Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Soient U et V deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel e sur , on dit que W = U+V est la somme directe des sous espaces vectoriels U et V si W est la somme des deux sous espaces vectoriel U et V et que le seul élément commun à U et V est le vecteur nul ( élément neutre ) on note alors : W = UV
Un exemple de somme de sous espaces vectoriels
Propriété caractéristique
Pour que la somme U+V de 2 sous espaces vectoriels U et V soit directe, il faut et il suffit que tout vecteur de (U+V) soit de façon unique, somme d'un vecteur de U et d'un vecteur de V.
Si e = UV on dit que les sous espaces vectoriels U et V sont supplémentaires.
Combinaison linéaires de vecteursSoit e un espace vectoriel sur , et soit {1,2,....., n} un sous ensemble fini de vecteurs de e. On appelle combinaison linéaire des vecteurs 1,2,....., n tout vecteur tel que :
Remarque est toujours un élément de E.
Espace vectoriel engendré et famille génératriceL'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de toute partie finie {1,2,....., n} d'un espace vectoriel e est un sous espace vectoriel de E, appelé sous espace vectoriel engendré par 1,2,....., n
Une partie G ou famille de vecteur d'un espace vectoriel e est dite génératrice de e si tout vecteur de e est une combinaison linéaire de G.
Partie libre, partie liée d'un espace vectoriel
Une partie d'un espace vectoriel e sur , est dite libre si pour tout nombre fini d'éléments 1,2,....., n de cette partie on a :
a1 1 + a2 2 + a3 3+...+ ann = a1 = a2 = a3 = .....= an= 0
La partie liée dans le cas contraire :
Propriété : si une partie L est une partie liée d'un espace vectoriel, alors l'un au moins des vecteurs de L est une combinaison linéaire d'autres vecteurs de L.
Base d'un espace vectorielOn nomme base d'un espace vectoriel toute partie génératrice et libre de cet espace vectoriel.
Remarque cette définition de base généralise la définition d'une base de vecteurs dans le plan ou dans l'espace.
Propriété caractéristique d'une base
Pour qu'une partie B d'un espace vectoriel e soit une base de e, il faut et il suffit que tout vecteur de e s'exprime de façon unique, par une combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs de E.
coordonnées d'un vecteur dans une base donnée
Soit B = (1,2,....., n) une base finie d'un espace vectoriel e sur
tout vecteur de e s'exprime de façon unique en fonction des vecteurs 1,2,....., n , autrement dit il existe des réels x1, x2, ....,xn tels que :
= x11+x22+.....+ xnn
.
le n-uplet (x1; x2 ; ....;xn) est appelé coordonnée du vecteur dans la base (1,2,....., n).
Cette définition généralise la définition de coordonnée d'un vecteur dans le plan.
Dimension d'un espace vectoriel finiSi un espace vectoriel e admet une base de n éléments, toute les autres bases de e ont également n éléments, ce nombre d'élément est appelé dimension de l'espace vectoriel e que l'on note dim e.
Propriétés :
Si e = e1 somme directe e2 alors dime1 + dim e2 = dim e
( cela vient du fait que si deux sous espace e1 et e2 sont supplémentaires, ils admettent pour bases respectives des parties complémentaires de e ).
Sujet: Aimons les maths 
Ven 17 Déc - 22:27
